Приложение
Основные законы логики:
Закон тождества A≡A
Закон непротиворечия: ¬(A˄¬A)
Закон исключенного третьего: A˅¬A
p⊃(q⊃p) – закон (утверждения) консеквента;
(p⊃q)⊃(¬q⊃¬p) – закон контрапозиции;
(¬p⊃¬q)⊃(q⊃p) – закон усиленной (обратной) контрапозиции;
((a˄b)⊃c)⊃((a˄¬c)⊃¬b) – закон сложной контрапозиции;
(p⊃(q⊃r))⊃((p⊃q)⊃(p⊃r)) – закон самодистрибутивности (материальной) импликации.
Прочие законы логики:
(a→b)→((b→c)→(a→c) – первый закон транзитивности
(a→b)→((с→a)→(c→b) – второй закон транзитивности.
a→(b→a) – закон консеквента
¬a→(а→b) – закон ложного имплицирования
(a→(b→c))→(b→(a→c)) — закон перестановки антецедентов
(a→(b→c))→(a˄b)→c)) – закон импортации
(a˄b)→c))→(a→(b→c)) – закон экспортации
(a˄b)˄c↔a˄(b˄c) — ассоциативность конъюнкции
(a˅b)˅c↔a˅(b˅c) – ассоциативность дизъюнкции
(a˄b)↔(b˄a) – коммутативность конъюнкции
(a˅b)↔(b˅а) – коммутативность дизъюнкции
a˄(b˅c)↔(a˄b)˅(а˄c) — дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
a˅(b˄c)↔(a˅b)˄(а˅c) — дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции
a˄(a˅b)↔a – первый закон поглощения
a˅(a˄b)↔a – второй закон поглощения
a˄(b˅¬b)↔a – закон исключения истинного члена из конъюнкции
a˅(b˄¬b)↔a – закон исключения ложного члена из дизъюнкции
(a→b)→((a˄c)→(b˄c)) – закон ввода произвольной конъюнкции
(a→b)→((a˅c)→(b˅c)) – закон ввода произвольной дизъюнкции
Эквивалентности для логики высказываний:
приведение к импликации —
(a˄b)≡¬(a⊃¬b), ¬(b⊃¬a)
(a˅b)≡(¬a⊃b), (¬b⊃a)
(a↔b)≡(a⊃b), (b⊃a)
(a˅b)≡(¬a⊃b), (¬b⊃a)
приведение к конъюнкции —
(a⊃b)≡¬(a˄¬b)
(a˅b)≡¬(¬a˄¬b)
(a˅b)≡¬((a∨¬b)∧(¬a∨b))
(a↔b)≡(a∨¬b)˄(b∨¬a)
приведение к дизъюнкции —
(a˄b)≡¬(¬a∨¬b)
(a⊃b)≡(¬a∨b)
(a˅b)≡(a˄¬b)∨(¬a˄b)
(a↔b)≡(a∧b)∨(¬a˄¬b)
Эквивалентности логики предикатов:
∀x(P(x)⊃¬S(x))⊃¬Ǝx(P(x)˄S(x))↔
↔¬∀x(P(x)⊃¬S(x))˅¬Ǝx(P(x)˄S(x))↔
↔Ǝx¬(P(x)⊃¬S(x))˅¬Ǝx(P(x)˄S(x))↔
↔Ǝx(P(x)˄¬¬S(x))˅¬Ǝx(P(x)˄S(x))↔
↔Ǝx(P(x)˄S(x))˅¬Ǝx(P(x)˄S(x))↔
↔Ǝx(P(x)˄S(x))˅∀x¬(P(x)˄S(x))↔
↔Ǝx(P(x)˄S(x))˅∀x(¬P(x)˅¬S(x))
¬∀x(S(x)⊃P(x))↔∃x¬(S(x)⊃P(x))↔
↔∃x(S(x)˄¬P(x))↔∃x(¬S(x)˅P(x))
¬∃x(S(x)˄P(x))↔∀x¬(S(x)˄P(x))↔
↔∀x(S(x)⊃¬P(x))↔∀x(¬S(x)˅¬P(x))
Таблица истинности для логических знаков:
переменные | результат их сравнения | |||||
A | B | ∧ | ∨ | ∨ | ⊃ | ↔ |
И | И | И | И | Л | И | И |
И | Л | Л | И | И | Л | Л |
Л | И | Л | И | И | И | Л |
Л | Л | Л | Л | Л | И | И |
Отрицание основных формул в логике высказываний:
¬(a˄b)↔¬a˅¬b,
¬(a˅b)↔¬a˄¬b,
¬(a⊻b)↔(a˄b)˅(¬a˄¬b),
¬(a→b)↔a˄¬b,
¬(a≡b)↔(a˄¬b)˅(b˄¬a),
¬¬a↔a
Отрицание в логике предикатов:
суждение | ↔ | его отрицание |
¬(Все S суть P) | ↔ | Некоторые S не суть P |
¬(Все S не суть P) | ↔ | Некоторые S суть P |
¬(Некоторые S суть P) | ↔ | Все S не суть P |
¬(Некоторые S не P) | ↔ | Все S суть P |
суждение | ↔ | его отрицание |
Все S суть P | ↔ | ¬(Некоторые S не суть P) |
Все S не суть P | ↔ | ¬(Некоторые S суть P) |
Некоторые S суть P | ↔ | ¬(Все S не суть P) |
Некоторые S не P | ↔ | ¬(Все S суть P) |
В более подробном написании:
суждение | ↔ | его отрицание |
∀x(S(x)⊃P(x)) | ↔ | ∃x(S(x)∧¬P(x)) |
∃x(S(x)∧P(x)) | ↔ | ∀x(S(x)⊃¬P(x)) |
∃x(S(x)∧¬P(x)) | ↔ | ∀x(S(x)⊃P(x)) |
∀x(S(x)⊃¬P(x)) | ↔ | ∃x(S(x)∧P(x)) |
Непосредственные выводы из простых суждений:
суждение | ↔ | его превращение |
Все S суть P | ↔ | Ни одно S не суть не P |
Все S не суть P | ↔ | Все S суть не P |
Некоторые S суть P | ↔ | Некоторые S не суть не P |
Некоторые S не суть P | ↔ | Некоторые S суть не P |
суждение | ↔ | его обращение |
Все S суть P | ↔ | Некоторые P суть S |
Все S не суть P | ↔ | Все P не суть S |
Некоторые S суть P | ↔ | Некоторые P суть S |
Некоторые S не P | ≢ | не обращается! |
суждение | ↔ | противопоставление предикату |
Все S суть P | ↔ | Ни одно не P не есть S |
Все S не суть P | ↔ | Некоторые не P суть S |
Некоторые S не суть P | ↔ | Некоторые не P суть S |
суждение | ↔ | противопоставление субъекту |
Все S суть P | ↔ | Ни одно P не суть не S |
Все S не суть P | ↔ | Все P суть не S |
Некоторые S суть P | ↔ | Некоторые P не суть не S |
Формализация простых суждений:
Обще-утвердительные — ∀x(S(x)⊃P(x));
Частно-утвердительные — ∃x(S(x)∧P(x));
Обще-отрицательные — ∀x(S(x)⊃¬P(x));
Частно-отрицательные — ∃x(S(x)∧¬P(x)).
Правила силлогизмов:
- Если одна из посылок – отрицательное суждение (¬), вывод также — отрицательное суждение (¬).
- Если обе посылки – утвердительные суждения, вывод также утвердителен.
- Если обе посылки – отрицательные суждения – вывод невозможен.
- Если одна из посылок частное суждение (∃), вывод также – частное суждение (∃).
- Если обе посылки – частные суждения (∃) – вывод невозможен.
- Если средний термин не распределен, хотя бы в одной из посылок – вывод невозможен.
- Термин, нераспределенный в посылках, не может быть распределён в заключении.
Система натурального вывода Куайна:
Правила вывода первого рода:
- а,b ⊧ a˄b – введение ˄ (В˄)
- a˄b ⊧ а – удаление ˄ (У˄)
- ¬(a˄b) ⊧ ¬a∨¬b — отрицание ˄ (О˄)
- а ⊧ а˅b – введение ˅ (В˅)
- а˅b, ¬a ⊧ b — удаление ˅ (У˅)
- ¬(а˅b) ⊧¬a∧¬b — отрицание ˅ (О˅)
- а⊃b, a) ⊧ b – удаление ⊃ (У⊃)¹
- а⊃b, ¬b) ⊧ ¬a– удаление ⊃ (У⊃)²
- a, b ⊧ (а⊃b), (b⊃a) — введение ⊃ (В⊃)
- ¬(а⊃b) ⊧ a˄¬b — отрицание ⊃ (О⊃)
- а⊃b, b⊃a ⊧ a≡b — введение ≡ (В≡)
- a≡b ⊧ а⊃b, b⊃a — удаление ≡ (У≡)
- а⊧ ¬¬а — введение двойного отрицания (В¬¬)
¬¬а⊧ а — удаление двойного отрицания (У¬¬)
Правила вывода второго рода:
- (а⊃с)˄(b⊃с)⊧(а˅b) →с – рассуждение разбором случаев (РРС)
- (b˄¬b)⊃а⊧¬а – сведение к абсурду (СА)
- ¬а⊃ (b˄¬b)⊧ а – доказательство от противного (ДОП)
- (Г, a⊧ b)⊧(Г⊧ a→b) — правило дедукции.
В другом написании:
В˄ | а, b | У˄ | a˄b | О˄ | ¬(a˄b) | В˅ | а | У˅ | а˅b, ¬a | О˅ | ¬(а˅b) | ||
a˄b | а | ¬a∨¬b | а˅b | b | ¬a∧¬b |
У⊃ | а⊃b, a | У⊃ | а⊃b, ¬b | В⊃ | a, b | О⊃ | ¬(а⊃b) | ||
b | ¬a | (а⊃b), (b⊃a) | a˄¬b |
В≡ | а⊃b, b⊃a | У≡ | a≡b | В¬¬ | а | У¬¬ | ¬¬а | ||
a≡b | а⊃b, b⊃a | ¬¬а | a |
РРС | (а⊃с)˄(b⊃с) | СА | (b˄¬b)⊃а | ДОП | ¬а⊃(b˄¬b) | ||
(а˅b)→с | ¬а | а |
ПД | Г, a ⊧b |
Г⊧ a⊃b |
Правила кванторов:
- ∀xP(x)⊧P(t) – схема удаления ∀(У∀)
- P(t)⊧ƎхP(x) – схема введения Ǝ (ВƎ)
- P(t)⊧∀xP(x) — схема введения ∀ (В∀) – х ограничен
- ƎxP(x)⊧P(t) – схема удаления Ǝ (УƎ) – х ограничен
В другом написании:
У∀ | ∀xP(x) | ВƎ | P(t) | В∀ | P(t) | УƎ | ƎxP(x) | ||
P(t) | ƎхP(x) | ∀xP(x) | P(t) |
Правила построения семантических таблиц:
— если мы имеем конъюнкцию — a˄b, то вписываем в выводе «a» и «b», не размножая таблицу;
— если мы имеем дизъюнкцию — a˅b, то размножаем таблицу и в одном столбце пишем «а», а в другом – «b».
Все остальные формулы мы преобразуем в конъюнкцию или дизъюнкцию по эквивалентностям:
(a⊃b)→ ¬a˅b
¬(a⊃b)→ a˄¬b
¬(a˄¬b)→ ¬a˅¬b
¬(a˅¬b)→ ¬a˄¬b
Правила построения аналитических таблиц:
T˄ | {T(a˄b)} | F˄ | {F(a˄b)} | ||||||
{Ta, Tb} | {Fa}, {Fb} |
T˅ | {T(a˅b)} | F˅ | {F(a˅b)} | ||||||
{Ta}, {Tb} | {Fa, Fb} |
T⊃ | {T(a⊃b)} | F⊃ | {F(a⊃b)} | ||||||
{Fa}, {Tb} | {Ta, Fb} |
T¬ | {T¬a} | F¬ | {F¬a} | ||||||
{Fa} | {Ta} |
T∃ | {T∃xA(x)} | F∃ | {F∃xA(x)} | ||||||
{TA(β)} | {F∃xA(x), FA(β)} |
T∀ | {T∀xA(x)} | F∀ | {F∀xA(x)} | ||||||
{T∀xA(x)}, TA(β)} | {FA(β)} |
Правила секвенциального исчисления:
Логические правила
˄L | Г, A ⊦ Δ | ˅R | Г ⊦ A, Δ | ||||||
Г, A˄B ⊦ Δ | Г ⊦ A˅B, Δ |
˅L | Г, A ⊦ Δ | Σ, B ⊦ Π | ˄R | Г ⊦ A, Δ | Σ ⊦ B, Π | ||||||
Г, Σ, A˅B ⊦ Δ, Π | Г, Σ ⊦ A˄B, Δ, Π |
⊃L | Г ⊦ A, Δ | Σ, B ⊦ Π | ⊃R | Г, A ⊦ B, Δ | ||||||
Г, Σ, A⊃B ⊦ Δ, Π | Г ⊦ A⊃B, Δ |
¬L | Г ⊦ A, Δ | ¬R | Г, A ⊦ Δ | ||||||
Г, ¬A ⊦ Δ | Г ⊦ ¬A, Δ |
∀L | Г, A[x/t] ⊦ Δ | ∀R | Г ⊦ A[x/y], Δ | ||||||
Г, ∀tA ⊦ Δ | Г ⊦ ∀yA, Δ |
∃L | Г, A[x/y] ⊦ Δ | ∃R | Г ⊦ A[x/t], Δ | ||||||
Г, ∃yA ⊦ Δ | Г ⊦ ∃tA, Δ |
Структурные правила:
WL | Г ⊦ Δ | WR | Г ⊦ Δ | ||||||
Г, A ⊦ Δ | Г ⊦ A, Δ |
CL | Г, A, A ⊦ Δ | CR | Г ⊦ A, A, Δ | ||||||
Г, A ⊦ Δ | Г ⊦ A, Δ |
PL | Г1, A, B, Г2 ⊦ Δ | PR | Г ⊦ Δ1, A, B, Δ2 | ||||||
Г1, B, A, Г2 ⊦ Δ | Г ⊦ Δ1, B, A, Δ2 |
I (аксиома) | CUT (сечение) | Г ⊦ Δ, A | A, Σ ⊦ Π | |||||||
A ⊦ A | Г, Σ ⊦ Δ, Π |
Правила вывода в модальной логике:
Правила первого рода:
- □A→A – правило удаления необходимости (У□)
- A→ ◊A –- введение возможности (В◊)
- ¬□A→¬◊A – отрицание необходимости (О□)
- ¬◊A→□¬A – отрицание возможности (О◊)
- □(A˄B)→□A˄□B – введение необходимости в конъюнкции (В□˄)
- □A˄□B→□(A˄B) – удаление необходимости из конъюнкции (У□˄)
- ◊(A˅B)→ ◊A˅◊B – введение возможности в дизъюнкцию (В◊˅)
- ◊A˅◊B→◊(A˅B) – удаление возможности из дизъюнкции (У◊˅)
- □A˅□B→□(A˅B) – удаление необходимости из дизъюнкции (У□˅)
- ◊(A˄B)→◊A˄◊B – введение возможности в конъюнкцию (В◊˄)
- □(A⊃B)→□A⊃□B – введение необходимости в импликацию (В□⊃)
- □A→□□A – введение дополнительной необходимости (В□□)
- □∀xA(x)→∀x□A(x) – перестановка необходимости от всеобщности (∀□)
- ∀x□A(x)→□∀xA(x) – перестановка необходимости к всеобщности (□∀)
- ◊∃xA(x)→ ∃x◊A(x) — перестановка возможности от существования (∃◊)
- ∃x◊A(x)→◊ ∃xA(x) – перестановка возможности к существованию (◊∃)
- ◊A→□◊A – введение необходимости возможности (В□◊)
- ◊A, □B→◊(A˄B) — замена необходимости на возможность (З□◊)
- (A↔B)→□(A↔B) – введение необходимой эквивалентности (В□↔)
- □(A↔B)→(A↔B) – удаление необходимой эквивалентности (У□↔)
Правило второго рода:
A→□A – правило введения необходимости (В□) – правило Гёделя
В другом написании:
У□ | □A | В◊ | A | О□ | ¬□A | О◊ | ¬◊A | ||
A | ◊A | ¬◊A | □¬A |
В□˄ | □(A˄B) | У□˄ | □A˄□B | В◊˅ | ◊(A˅B) | У◊˅ | ◊A˅◊B | ||
□A˄□B | □(A˄B) | ◊A˅◊B | ◊(A˅B) |
У□˅ | □A˅□B | В◊˄ | ◊(A˄B) | В□⊃ | □(A⊃B) | В□□ | □A | ||
□(A˅B) | ◊A˄◊B | □A⊃□B | □□A |
∀□ | □∀xA(x) | □∀ | ∀x□A(x) | ∃◊ | ◊∃xA(x) | ◊∃ | ∃x◊A(x) | ||
∀x□A(x) | □∀xA(x) | ∃x◊A(x) | ∃xA(x) |
В□◊ | ◊A | З□◊ | ◊A, □B | В□↔ | A↔B | У□↔ | □(A↔B) | ||
□◊A | ◊(A˄B) | □(A↔B) | A↔B |
ПГ | A |
□A |
Эквивалентности модальной логики:
□A⇔¬◊¬A
◊A⇔¬□¬A
∇A⇔◊A˄◊¬A
Отрицания в модальной логике:
¬□А⇔◊¬ A;
¬◊A⇔□¬А;
¬∇А⇔□А∨□¬A