XII. Расширение классической логики. Неклассическая логика

Урок XII. Расширение классической логики. Неклассическая логика.

Данный урок представляет собой краткий обзор некоторых неклассических логик. Задача данного урока – ознакомление студента с основными подходами неклассических логик и с методами расширения классической формальной логики.

1. Релевантные логики

Среди неклассических логик особое место занимает так называемая релевантная логика, которая может рассматриваться в качестве альтернативы классической логики или в качестве её расширения (усовершенствования).

Дополнительная информация

На сегодняшний момент единой концепции релевантной логики не существует.

Первым, кто заявил о необходимости замены материальной импликации «строгой импликацией» был американский философ Кларенс Льюис. Им была предложена система S, в которой импликация понимается как «строгая». Не вдаваясь в подробности (а разновидностей этой системы было несколько, от S₁ до S₈), лишь констатируем: задачу Льюис сформулировал, но так и не решил. Исправив недостатки материальной импликации, Льюис создал парадоксы «строгой импликации».

Несколько позже формулируются еще четыре, ставшие классическими, релевантные системы. Идейным основоположником этих систем считается В. Аккерман, а практическими разработчиками — Андерсон и Белнап.

Система E_fde вообще предлагает отказаться от всех видов импликации, используя только их эквивалентности.

Система R, формализуя импликацию, настаивает на том, чтобы в антецеденте и консеквенте были общие (пропозициональные) переменные.

Система Е представляет собой модальную систему, в которой оператор необходимости выражается через релевантную импликацию «□A⇔(A→A)→A».

Система Т, интерпретирует импликацию в качестве «правомерного перехода» от одного истинного выражения к другому.

Для всех этих систем существуют свои правила вывода и схемы аксиом.

Но все эти системы не являются унрпверсальными системами релевантной логики, а, скорее, представляют собой лишь подходы к её созданию.

Современные логики и философы не оставляют попыток создать завершенную, «работающую» релевантную логику. Вклад в этот процесс вносят как зарубежные исследователи, так и советские, российские. Была построена построения двухуровневая семантика возможных миров (Е.А. Сидоренко), логик Л.Л. Максимова построила семантику возможных миров с трёхместным отношением достижимости, обобщающую семантики Крипке для системы R.

Тем не менее, вопрос о существовании релевантной логики (как и вопрос об окончательной формулировке логического следования) до сих пор остается открытым. Все перечисленные системы, либо не устраняют «парадокса материальной импликации», либо сами создают новые парадоксы, либо являются столь громоздкими и путанными, что делают реальную работу с ними весьма затруднительной.

2. Модальные логики

Модальная (алетическая) логика представляет собой раздел формальной логики, в которую включаются так называемые модальные операторы «□» — «необходимо» и «◊» — «возможно, вероятно». В некоторый модальных логиках возможно иное прочтение данный операторов, например, «доказуемо / непротиворечиво», «необходимо соблюдение норм / позволительно», «приемлема эмпирическая гипотезы / неотвергаемая», «везде, всегда / кое-где, иногда», «знаю / не знаю» и т.д.

Впервые наиболее полно и обоснованно модальные системы были сформулированы К.И. Льюисом как расширение классической логики. Он сформулировал аксиомы, правила вывода и определения своей первой системы S₁, известной нам как правила натурального вывода, но при этом добавил к ним два существенных определения: «◊A↔(A˄A)» и «¬◊A↔¬(A˄A)». Чуть позже, Льюис добавил к системе S₁ аксиому «◊(A˄A)⊃A» и назвал её системой S₂. В дальнейшем Льюис понял, что для каждой конкретной модальной задачи необходимо строить индивидуальную модальную систему аксиом. Таким образом, появляется система S₃, где формулируются правила «¬◊A⊃¬A» и «(A⊃B)⊃(¬◊B⊃¬◊A)». Исчисление S₄ прирастает аксиомой «¬◊¬A⊃¬◊¬¬◊¬A» к системе S₁. Если к системе S₁ добавить аксиому «◊A⊃¬◊¬◊A» — получим систему исчислений S₅. А добавив к системе S₂ аксиому «◊◊A», получаем систему исчислений S₆.

Вероятно, читатель уже понял, что аксиоматическая система в модальной логике строиться аналогично аксиоматическим системам в классической логике в том смысле, что каждая конкретная задача диктует свой собственный набор аксиом.

После Кларенса Льюиса развитием новых систем занимается С. Холлден. Он предлагает систему S₇, в которой к аксиомам системы S₃ прибавляется аксиома «◊◊A», и систему S₈, в которой к правилам вывода S₃ приплюсовывается аксиома «¬◊¬◊◊A».

С развитием нормальных систем модальной логики формулируется система K, которую в некотором роде можно считать эталоном модального исчисления. Она формируется из классического исчисления высказываний с добавлением правила Гёделя «A→□A» и аксиомы «□(A⊃B)⊃(□A⊃□B)». Путем добавления к системе К аксиомы «□A⊃¬□¬A» получаем систему D. Если же к системе К добавить аксиому «□A⊃A» — получаем систему T. Добавив к системе T «□A⊃□□A» получаем исчисление S₄, а, если добавить к системе T «¬A⊃□¬□A» — систему B. Система S₅ образуется путём добавления к системе T аксиомы «¬□A⊃□¬□A»… Перечислением списка модальных систем можно заниматься очень долго.

Вероятно, читатель уже понял, что аксиоматическая система в модальной логике строиться аналогично аксиоматическим системам в классической логике в том смысле, что каждая конкретная задача диктует свой собственный набор аксиом. Принципиальная разница заключается в том, что если, создавая систему аксиом в классической логике, вы не рискуете создать между ними противоречия, то, создавая систему аксиом в модальной логике, вы от этого не застрахованы.

3. Реляционные семантики возможных миров

Под возможными мирами в узком смысле понимается результат возможного развития событий или мыслимое положение дел. В широком смысле – возможные системы.

Задача данной логики заключается в анализе совместимости возможных миров в единой модельной системе. Модельная система играет роль заданной системы координат, в которой взаимодействуют возможные миры. Понятно, что в различных модельных системах (системах координат) возможные миры могут взаимодействовать между собой по-разному (к примеру, возможно разное развитие событий в системе Эвклида и в системе Лобачевского).

Для исчислений в реляционных семантиках возможных миров созданы системы K, D, T, B, S₄ и S₅.

4. Логика времени.

Под логикой времени понимается еще одна разновидность модальной логики, в которую включен фактор времени. Логика времени исходит из того, что оценка модальности высказывания зависит от времени, когда это высказывание формулируется, и от времени события, о котором идет речь в этом высказывании. Например, любое высказывание о грядущих событиях по понятным причинам может иметь лишь вероятностный характер.

Некоторые законы логики времени можно описать так: «ни одно событие не происходит раньше самого себя», «неверно, что произойдет логически невозможное событие», «всякое состояние либо сохраняет, либо возникает, либо исчезает» и т.д.

Для исчислений в логике времени создана система K_t.

5. Интуиционистская логика.

Интуиционистская логика – это логика, в которой суждение считается истинным, только если его можно доказать некоторым «мысленным экспериментом».

В отличие от классической логики, интуиционистская логика старается избавиться от абстрактных моделей и объектов и приемлет лишь те объекты, для которых существует конструктивное доказательство.

Объект интуитивистской логики не может быть отвлеченным. Это либо построенный объект, либо объект, для которого создан алгоритм построения (или алгоритм его вычисления). Конструктивным доказательством существования объекта в этой логике может считаться простое указание (предъявление) этого объекта, либо алгоритм его построения. Истинным (конструктивным) утверждением, соответственно, считается такое утверждение, для которого существует конструктивной доказательство.

Систему исчислений для интуитивистской логии была построена Гейтингом, и получила одноименное название – «система Гейтинга».

Интуиционистская логика и её многочисленные интерпретации до сих пор является поводом для жарких дискуссий.

6. Логики второго и высших порядков.

Логика второго и более высокого порядка отличается от логики первого порядка квантизацией предикатов и множеств. Иными словами, если в логике первого порядка (к которой относится классическая формальная логика) кванторы используются лишь для переменных и субъектов высказываний, то в логике второго порядка допускается использование кванторов для свойств, предикатов высказываний и множеств.

В некотором смысле мы уже сталкивались с элементами логики второго порядка, когда говорили о силлогистике. Если вы помните, в силлогистике мы распределяли как субъект, так и предикат суждения. Формулой логики второго порядка может быть выражение «∀xƎS(S(х))». Читаем: Для всех «х» существует свойство S.

Если логика второго порядка допускает квантификацию над множествами, то логика третьего порядка допускает применение кванторов к множествам множеств. Соответственно, логика высшего порядка является объединением логики первого, второго, третьего и т.д. порядков; иначе говоря, логика высшего порядка допускает квантификацию множеств произвольной глубины вложенности.

7. Многозначные логики.

В многозначных логиках допускается более двух истинностных значений для высказываний. Если истину обозначить цифрой «1», а ложь цифрой «0», то многозначная логика допускает значение высказывания в диапазоне от нуля до единицы.

Трёхзначная логика была исторически первой многозначной логикой и является простейшим расширением двузначной логики. Перечень истинностных значений трёхзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое, как правило, трактуется как «1/2» — «возможно», «неопределенно», «неизвестно».

К многозначным логикам принято относить также трехзначную логику, логику ложности, паранепротиворечивую логику, конечнозначные логики и бесконечнозначную логику.

8. Логика расплывчатых множеств.

Основателем логики расплывчатых множеств («нечёткой» логики) является американец азербайджанского происхождения Лотфи Заде (Лютфали Рагим оглы Алескерзаде).

Нечёткая логика — набор нестрогих правил, в которых для достижения поставленной цели могут использоваться радикальные идеи, интуитивные догадки, а также опыт специалистов, накопленный в соответствующей области. Нечёткой логике свойственно отсутствие строгих стандартов. Чаще всего она применяется в экспертных системах, нейронных сетях и системах искусственного интеллекта. Вместо традиционных значений Истина и Ложь в нечеткой логике используется более широкий диапазон значений, среди которых Истина, Ложь, Возможно, Иногда, Не помню (Как бы Да, Почему бы и Нет, Ещё не решил, Не скажу…). Нечеткая логика просто незаменима в тех случаях, когда на поставленный вопрос нет чёткого ответа (да или нет; «0» или «1») или наперёд неизвестны все возможные ситуации. Например, в нечеткой логике высказывание вида «x есть большое число» интерпретируется как имеющее неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким множеством.

9. Логика квантовой механики.

Оформление квантовой механики взамен ньютоновской потребовало специальную логику упорядочения физического мышления. Данный раздел логики представляет собой попытки описать логические связи суждений о предметах, которые изучает квантовая механика. Возникает идея особой «логики микромира», так как логика макромира не может быть применена к ней.

Почему классическая логика не применима к квантовой механики? Потому что квантовая механика исследует микромир, в котором привычные для нас законы не работают. Квантовая физика пытается описывать физические миры, альтернативные ньютоновкой физике. Возникают гипотетические ситуации, в которых объект может существовать в двух и более местах одновременно, ситуации, в которых один и тот же объект может прибывать в двух взаимоисключающих состояниях, ситуации, в которых сам объект и его свойства могут быть отделены друг от друга и т.д.

Почти целое столетие ведутся споры о необходимости и принципах логики квантовой механики, однако, ощутимых результатов в этой области до сих пор добиться не удалось.

10. Иррациональная логика.

Условно названная нами «иррациональная логика» родилась в Древней Индии параллельно с древнегреческой логикой и является самой радикальной альтернативой классической формальной логике.

Иррациональная восточная логика создана, прежде всего, для отражения законов духовной жизни человека и законов иррациональных систем. Для иллюстрации восточной логики нам необходимо ввести в символический язык новый квантор – квантор неопределенности («в некотором смысле») – обозначим его символом «⋏» (от «Vagueness»). И предикат неопределенности (S суть неопределимо, S суть невыразимо), обозначив его символом «∅». Таким образом, кроме высказываний аристотелевской логики P(x) и ¬P(x), получаем еще три возможные формулы высказываний: ⋏(P(x)∧¬(P(x)), ⋏∅(x), ⋏(P(x)∧¬P(x)∧∅(х)). При этом аристотелевские выражения также получают свою специфику под влиянием квантора относительности ⋏: ⋏P(x), ⋏¬P(x). Обращаем внимание на то, что формула ⋏(P(x)∧¬P(x)∧∅(х)), являясь иррациональной с точки зрения формальной классической логики, выражает до сих пор невыразимые в формальной логике объекты и образы. Если под х понимать вселенную (предельный универсум), то ⋏(P(x)∧¬P(x)∧∅(х)) следует прочесть так: В некотором смысле (⋏), вселенная бесконечна (P(x)∧¬(P(x)), и ничего определенного мы о ней сказать не можем (∅(x)). Если понимать под х образ нашего сознания, опять-таки получаем: Образ в нашем сознании в определенном смысле (⋏) есть (⋏P(x)), но, с другой стороны, его там невозможно обнаружить (⋏¬P(x)), и уж тем более он невыразим (∅(х)).

Иррациональные системы не получили своего распространения, поскольку являются, скорее всего, бесполезными для точных наук.