IV. Синтаксис простых суждений

Урок IV.

Синтаксис простых суждений.

Логика высказываний является важной, но достаточно узкой частью формальной логики. Как только мы переходим к логике предикатов (к анализу внутренней структуры суждений), логический анализ усложняется и начинается действительно творческая работа. Если в логике высказываний разрешимость логической системы очевидна (таблицы истинности являются алгоритмом проверки формул на истинность и ложность), то в логике предикатов подобного метода разрешимости логической системы не существует. И именно это делает логику предикатов особенно привлекательной.

Но, прежде чем перейти к исчислениям логики предикатов, необходимо разобраться в её синтаксисе.

Начнём с того, что в простом суждении есть субъект суждения (логическое подлежащее) и предикат (логическое сказуемое). Субъектом в логике называется объект, о котором мы что-то утверждаем или отрицаем. Например,

Иванов двоечник

Идёт дождь

Человек – не насекомое

Они – братья

Я – гений

«Иванов», «дождь», человек», «они», «Я» — субъекты данных высказываний.  А то, что мы утверждаем или отрицаем о них – есть предикаты. Предикатами в нашем случае являются свойства и отношения «двоечник», «идёт», «не насекомое», «братья», «гений».

Любое простое высказывание имеет одинаковую структуру:

S – P

где «S» — субъект (логическое подлежащее), «P» — предикат (логическое сказуемое) и связка «-», читаемая как «есть», «суть», «является».

Перефразируя наши примеры, мы получаем высказывания логического типа:

Иванов суть двоечник

Дождь есть идущий

Человек не является насекомым

Они являются братьями

Я есмь гений

Важно

Из приведённых примеров очевидно, что мы можем либо что-то утверждать об объекте, либо что-то о них отрицать. Поэтому суждения бывают как утвердительными, так и отрицательными (качественная характеристика суждения):

Все S суть P               ∀x(S(x)⊃P(x))

Все S не суть P                   ∀x(S(x)⊃¬P(x))

Кроме того, мы можем что-то утверждать или отрицать как обо всех объектах, так и о некоторых. В этом смысле, суждения могут быть как общими, так и частными (количественная характеристика суждения):

Все S суть P               ∀x(S(x)⊃P(x))

Некоторые S не суть P     ∃x(S(x)∧¬P(x))

Таким образом, мы получаем всего четыре возможных варианта суждений:

Важно

Между этими суждениями есть тесная взаимосвязь. Чаще всего эту взаимосвязь показывают на так называемом «логическом квадрате»:

Для нас наиболее интересными являются отношения противоречия (контрадикторности) и противоположности (контрарности). Эту разницу студент должен чётко понимать.

Противоположные суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Про такое отношение обычно говорят: суждения несовместимы по истинности, но могут быть совместимы по ложности. Примером таких суждений может быть:

Все люди философы         —        Все люди не являются философами

Противоречивые суждения несовместимы как по истинности, так и по ложности, т.е. не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными:

Все люди философы         —        Некоторые люди не являются философами

Именно по этому, противоречивые суждения являются полным отрицанием друг друга. Из выше изложенного становится понятной и  процедура отрицания простого суждения. Чтобы осуществить отрицание суждения, нужно изменить его качественные и количественные характеристики на противоположные. Технически это осуществляется путём замены квантора на противоположный и отрицания на утверждение (утверждения на отрицание):

Данная таблица читается и в обратном направлении:

Помимо отрицания суждений есть и иные отношения между простыми суждениями. Важнейшими отношениями между простыми суждениями являются превращение и обращение.

Операцией превращение называется операция преобразования простого суждения из утвердительного в отрицательное и, наоборот, из отрицательного в утвердительное. Т.е. речь идет об изменении качества суждения.

Для правильной процедуры превращения необходимо запомнить два правила:

1. Отрицание связки эквивалентно отрицанию свойства. Например, выражения «Все S не суть P» эквивалентно выражению «Все S суть не P».
2. Двойное отрицание эквивалентно утверждению, а утверждение эквивалентно двойному отрицанию: A≡¬¬A и ¬¬A≡A.

Зная эти два правила, читатель может самостоятельно проводить операцию превращения. Ясно, выражение «Некоторые люди не являются философами» эквивалентно выражению «Некоторые люди являются не философами». А выражение «Некоторые люди являются философами» эквивалентно выражению «Некоторые люди не являются не философами».

При необходимости, читатель может запомнить эквивалентности, получаемые в результате превращений суждений:

Важно

Суть процедуры обращения заключается в том, мы меняем субъект и предикат суждения местами. Например, суждения вида «Некоторые люди млекопитающие» эквивалентно суждению «Некоторые млекопитающие – люди».

Сложность обращение заключается в том, что мы не вправе менять местами субъект и предикат автоматически. И здесь придется просто запомнить схемы обращения:

Дополнительная информация

_________________________________________________________________________________

Существует ещё две процедуры преобразования простых суждений — противопоставление предикату и противопоставление субъекту.

По сути,  это не новые типы преобразований, поскольку противопоставление предикату представляет собой последовательное выполнение превращение, а затем обращение высказывания. Соответственно, противопоставление субъекту – это последовательное обращение и, затем, превращение высказывания.

Например, операцию противопоставления предикату можно представить следующим образом: 1. «Некоторые люди не являются философами» → 2. «Некоторые люди являются не философами» (превратили предыдущее суждение) → 3. «Некоторые не философы являются людьми» (обратили предыдущее суждение). Непосредственный переход от первого высказыванию к третьему называется противопоставлением предикату.

Операцию противопоставления субъекту можно представить аналогичным образом: 1. «Некоторые люди являются философами» → 2. «Некоторые философы являются людьми» (обратили предыдущее суждение) → 3. «Некоторые философы не являются нелюдями» (превратили предыдущее суждение). Непосредственный переход от первого высказыванию к третьему называется противопоставлением субъекту.

Зная правила обращения и превращения, читатель может самостоятельно проводить процедуры противопоставлений. Но, если читателю это делать лень, он может просто запомнить эквивалентности противопоставлений:

Противопоставление предикату:

Противопоставление субъекту: