Кортунов Вадим Вадимович kortunov@live.com

IV. Синтаксис простых суждений

Урок IV.

Синтаксис простых суждений.

Логика высказываний является важной, но достаточно узкой частью формальной логики. Как только мы переходим к логике предикатов (к анализу внутренней структуры суждений), логический анализ усложняется и начинается действительно творческая работа. Если в логике высказываний разрешимость логической системы очевидна (таблицы истинности являются алгоритмом проверки формул на истинность и ложность), то в логике предикатов подобного метода разрешимости логической системы не существует. И именно это делает логику предикатов особенно привлекательной.

Но, прежде чем перейти к исчислениям логики предикатов, необходимо разобраться в её синтаксисе.

Начнём с того, что в простом суждении есть субъект суждения (логическое подлежащее) и предикат (логическое сказуемое). Субъектом в логике называется объект, о котором мы что-то утверждаем или отрицаем. Например,

Иванов двоечник

Идёт дождь

Человек – не насекомое

Они – братья

Я – гений

«Иванов», «дождь», человек», «они», «Я» — субъекты данных высказываний.  А то, что мы утверждаем или отрицаем о них – есть предикаты. Предикатами в нашем случае являются свойства и отношения «двоечник», «идёт», «не насекомое», «братья», «гений».

Любое простое высказывание имеет одинаковую структуру:

S – P

где «S» — субъект (логическое подлежащее), «P» — предикат (логическое сказуемое) и связка «-», читаемая как «есть», «суть», «является».

Перефразируя наши примеры, мы получаем высказывания логического типа:

Иванов суть двоечник

Дождь есть идущий

Человек не является насекомым

Они являются братьями

Я есмь гений

Важно

В логике предикатов принято два способа написания простых высказываний: «Все S – P» и ∀x(S(x)⊃P(x)). Первое читается как «S суть P», второе как Для всех «х» верно, что, если он обладает свойством «S», то «x» обладает и свойством «P». Оба написания идентичны. Нам понадобятся оба написания, поскольку в различных разделах логики иногда удобно первое написание, а иногда – второе.

Из приведённых примеров очевидно, что мы можем либо что-то утверждать об объекте, либо что-то о них отрицать. Поэтому суждения бывают как утвердительными, так и отрицательными (качественная характеристика суждения):

Все S суть P               ∀x(S(x)⊃P(x))

Все S не суть P                   ∀x(S(x)⊃¬P(x))

Кроме того, мы можем что-то утверждать или отрицать как обо всех объектах, так и о некоторых. В этом смысле, суждения могут быть как общими, так и частными (количественная характеристика суждения):

Все S суть P               ∀x(S(x)⊃P(x))

Некоторые S не суть P     ∃x(S(x)∧¬P(x))

Таким образом, мы получаем всего четыре возможных варианта суждений:

A Обще-утвердительное Все S суть P ∀x(S(x)⊃P(x))
E Обще-отрицательное Все S не суть P ∀x(S(x)⊃¬P(x))
I Частно-утвердительное Некоторые S суть P ∃x(S(x)∧P(x))
O Частно-отрицательное Некоторые S не суть P ∃x(S(x)∧¬P(x))

Важно

Для общих суждений (с квантором ∀) свойства объекта выражаются через импликацию «⊃», например, ∀x(S(x)⊃P(x)).

Для частных суждений (с квантором ∃) свойства объекта выражаются через конъюнкцию «∧», например, ∃x(S(x)∧P(x)).

Выражение «Все люди млекопитающие» можно прочесть так: «Для всех людей верно, что, если они люди, то они млекопитающие». А выражение «Некоторые люди млекопитающие» можно прочесть так: «Для некоторых людей верно, что они люди и млекопитающие».

Эту разницу необходимо запомнить.

Строго говоря, кроме частных и общих суждений существуют еще единичные, объём которых исчерпывается одним объектом. Это такие суждения, как «Иванов – студент», «Москва – столица России», «Я шагаю по Москве» и т.д. Единичные суждения по своим свойствам идентичны общим суждениям.

Также читатель должен иметь в виду, что любое общее суждение с истинностью преобразуется в частное (но не наоборот). Из выражения «Все люди млекопитающие» мы с истинностью выводим суждение «Некоторые люди млекопитающие» (точнее, «Существует хотя бы один человек-млекопитающее»).

И, наконец, целесообразно запомнить, что, если в каком-либо высказывании отсутствует квантор, то по умолчанию принимается квантор общности. Из суждения «Люди – млекопитающие» мы с истинностью выводи суждение «Все люди млекопитающие».

Между этими суждениями есть тесная взаимосвязь. Чаще всего эту взаимосвязь показывают на так называемом «логическом квадрате»:

Для нас наиболее интересными являются отношения противоречия (контрадикторности) и противоположности (контрарности). Эту разницу студент должен чётко понимать.

Противоположные суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Про такое отношение обычно говорят: суждения несовместимы по истинности, но могут быть совместимы по ложности. Примером таких суждений может быть:

Все люди философы         —        Все люди не являются философами

Противоречивые суждения несовместимы как по истинности, так и по ложности, т.е. не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными:

Все люди философы         —        Некоторые люди не являются философами

Именно по этому, противоречивые суждения являются полным отрицанием друг друга. Из выше изложенного становится понятной и  процедура отрицания простого суждения. Чтобы осуществить отрицание суждения, нужно изменить его качественные и количественные характеристики на противоположные. Технически это осуществляется путём замены квантора на противоположный и отрицания на утверждение (утверждения на отрицание):

суждение его отрицание
¬(Все S суть P) Некоторые S не суть P
¬(Все S не суть P) Некоторые  S суть P
¬(Некоторые S суть P) Все S не суть P
¬(Некоторые S не P) Все S суть P

Данная таблица читается и в обратном направлении:

суждение его отрицание
Все S суть P ¬(Некоторые S не суть P)
Все S не суть P ¬(Некоторые  S суть P)
Некоторые S суть P ¬(Все S не суть P)
Некоторые S не P ¬(Все S суть P)

Помимо отрицания суждений есть и иные отношения между простыми суждениями. Важнейшими отношениями между простыми суждениями являются превращение и обращение.

Операцией превращение называется операция преобразования простого суждения из утвердительного в отрицательное и, наоборот, из отрицательного в утвердительное. Т.е. речь идет об изменении качества суждения.

Для правильной процедуры превращения необходимо запомнить два правила:

  1. Отрицание связки эквивалентно отрицанию свойства. Например, выражения «Все S не суть P» эквивалентно выражению «Все S суть не P».
  2. Двойное отрицание эквивалентно утверждению, а утверждение эквивалентно двойному отрицанию: A≡¬¬A и ¬¬A≡A.

Зная эти два правила, читатель может самостоятельно проводить операцию превращения. Ясно, выражение «Некоторые люди не являются философами» эквивалентно выражению «Некоторые люди являются не философами». А выражение «Некоторые люди являются философами» эквивалентно выражению «Некоторые люди не являются не философами».

При необходимости, читатель может запомнить эквивалентности, получаемые в результате превращений суждений:

суждение его превращение
Все S суть P Ни одно S не суть не P
Все S не суть P Все S суть не P
Некоторые S суть P Некоторые S не суть не P
Некоторые S не суть P Некоторые S суть не P

Важно

Процедура превращения может быть крайне полезна в том случае, когда мы имеем, например, с частно-отрицательными суждениями, операции с которым ограничены. Превратив частно-отрицательное суждение в частно-утвердительное, дальнейшие выводы могут стать значительно богаче.

Суть процедуры обращения заключается в том, мы меняем субъект и предикат суждения местами. Например, суждения вида «Некоторые люди млекопитающие» эквивалентно суждению «Некоторые млекопитающие – люди».

Сложность обращение заключается в том, что мы не вправе менять местами субъект и предикат автоматически. И здесь придется просто запомнить схемы обращения:

суждение его обращение
Все S суть P Некоторые P суть S
Все S не суть P Все P не суть S
Некоторые S суть P Некоторые P суть S
Некоторые S не P не обращается!

Дополнительная информация

_________________________________________________________________________________

Существует ещё две процедуры преобразования простых суждений — противопоставление предикату и противопоставление субъекту.

По сути,  это не новые типы преобразований, поскольку противопоставление предикату представляет собой последовательное выполнение превращение, а затем обращение высказывания. Соответственно, противопоставление субъекту – это последовательное обращение и, затем, превращение высказывания.

Например, операцию противопоставления предикату можно представить следующим образом: 1. «Некоторые люди не являются философами» → 2. «Некоторые люди являются не философами» (превратили предыдущее суждение) → 3. «Некоторые не философы являются людьми» (обратили предыдущее суждение). Непосредственный переход от первого высказыванию к третьему называется противопоставлением предикату.

Операцию противопоставления субъекту можно представить аналогичным образом: 1. «Некоторые люди являются философами» → 2. «Некоторые философы являются людьми» (обратили предыдущее суждение) → 3. «Некоторые философы не являются нелюдями» (превратили предыдущее суждение). Непосредственный переход от первого высказыванию к третьему называется противопоставлением субъекту.

Зная правила обращения и превращения, читатель может самостоятельно проводить процедуры противопоставлений. Но, если читателю это делать лень, он может просто запомнить эквивалентности противопоставлений:

Противопоставление предикату:

суждение противопоставление предикату
Все S суть P Ни одно не P не есть S
Все S не суть P Некоторые не P суть S
Некоторые S не суть P Некоторые не P суть S

Противопоставление субъекту:

суждение противопоставление субъекту
Все S суть P Ни одно P не суть не S
Все S не суть P Все P суть не S
Некоторые S суть P Некоторые P не суть не S