Урок I.
Алфавит классической формальной логики.
Для того, чтобы начать ориентироваться в формальной символической классической логике необходимо знать терминологию и знаки, с которыми нам придется иметь дело. Что касается терминологии, её мы будем раскрывать по мере необходимости. Что же касается знаков, их мы должны запомнить в первую очередь.
| Символ | название | пример написания | аналог в естественном языке |
| ⊃ | материальная импликация | a⊃b
Иногда: a→b |
вода закипает при 100 градусах (b), если идет дождь (a).
Импликация фиксирует событие «b» при условии события «a». При этом событие «a» не обязательно является необходимым для события «b». |
| ⊧ | логическое следование | a╞ b | из a следует b.
В отличие от импликации, знак логического следования подразумевает, что «a» необходимое и достаточное условие для «b». |
| →
↔ ← |
правомерный переход | a→b | имея «a», мы переходим к «b».Знак «→» в формальной логике относится к «плавающим», не вполне определенным знакам. Иногда он может означать материальную импликацию «⊃», иногда логическое следование «╞». |
| ˄ | конъюнкция | a˄b | идет дождь и гремит гром |
| ˅ | дизъюнкция | a˅b
Иногда: a&b a•b ab |
идет дождь или гремит гром.
Простая (нестрогая) дизъюнкция предполагает, что два события могут происходить одновременно, а могут и не происходить. |
| ˅ | строгая дизъюнкция | a˅b
Иногда: a⊕b a||b |
либо идет дождь, либо гремит гром.
В отличие от простой (нестрогой) дизъюнкции, строгая дизъюнкция исключает возможность, что оба события происходят одновременно. |
| ≡ | тождество,
эквивалентность |
a≡b
Иногда: a↔b a┤├b |
«а» и «b» взаимовыразимы.
«a≡b» означает, что из «а» следует «b», а из «b» следует «a». Часто этот символ обозначается знаком «↔». Поэтому эквивалентность в логике называют «двойной импликацией». |
| ¬ | отрицание,
инверсия |
¬a
Иногда: ~a a̅
|
«a» – добрый; «¬a» — недобрый, злой. |
| a, b, c… | переменные,
пропозициональные переменные, индивидные (предметные) переменные, константы, термы |
a | a – студент
a – Иванов – отличник, но плохой спортсмен a – студент данной группы a – студент Иванов a – всё вышеперечисленное |
| P, S, Q… | предикаты, предикаторы | P(x)
P(x, y) |
Иван – отличник
Иван и Пётр – братья |
| f | предметные функторы | f(a, b) | 2+2=4 |
| ∀ | квантор общности | ∀x | Все люди; ни один человек; никто из людей; не существует человека… |
| Ǝ | квантор существования | Ǝx | Существует, по крайней мере, один человек; некоторые люди; кое-кто из людей; есть человек; большинство людей… |
Дополнительная информация
| Замечание первое.
Символическая логика формировалась в различных частях мира в XIX-XX веках. При этом её становление происходило автономно в различных частях света с применением многообразных символических обозначений. Поэтому единой системы обозначения символов в логике на сегодняшний момент не существует. Так, в современной литературе можно встретить написание импликации как «→»; конъюнкции как «&», «•» или вовсе без знака «ab»; строгой дизъюнкции как «⊕», «||»; эквивалентности как «↔», «⇔», «┤├», «~»; отрицания как «~a», «ā» и т.д. В современной литературе любая книга (монография, учебник, статья), как привило, начинается с описания языка логики. Если это опускается, это означает, что читателю предлагается понять язык интуитивно, из контекста написанного текста. Замечание второе. Язык символической логики может быть расширен за счет известных математических (и иных) символов. Современный язык логики изобилует символами из области информатики, математики, физики, теории множеств и даже квантовой механики. Более того, всегда возможно расширение языка логики за счет её авторской интерпретации. Предлагаем студенту принять участие в этом творческом процессе. Замечание третье. При дальнейшем изложении текста нам придется время от времени предлагать читателю альтернативные варианты написания логических формул. Они будут представлены либо в скобках, либо со специальными оговорками. |