Кортунов Вадим Вадимович kortunov@live.com

II. Основные законы логики

Урок II.

Логические законы, связки и операторы.

 

Классическая логика оценивает любое суждение естественного языка как истинное или ложное. Соответственно, любое логическое высказывание, выражающее суждение, также может быть оценено как истинное или ложное.

Основные законы логики отражают именно эту однозначность:

  1. Закон тождества гласит: Любое понятие или суждение всегда употребляется в одном и том же смысле. Данный закон необходим, чтобы понятия, которыми мы оперируем в процессе рассуждения, не меняли своего смысла во избежание подмены понятий. Символически этот закон выражается так:

A≡A

  1. Закон непротиворечия: Одно и то же суждение не может быть одновременно истинным и ложным. (Или в другой формулировке: Два противоречивых суждения не могут быть одновременно истинными или ложными):

¬(A˄¬A)

  1. Закон исключенного третьего: Любое суждение, либо истинно, либо ложно. Третьего не дано:

A˅¬A

 

Дополнительная информация

 

Иногда, в качестве четвёртого основополагающего закона логики добавляют закон достаточного основания. Он гласит: Суждение считается истинным, если для этого есть достаточные основания (т.е., если оно доказано). Данный закон никак не формализуется. Да и его статус в качестве основного логического закона – спорен.

 

Для того, чтобы ту или иную формулу (суждение, высказывание) оценить на истинность или ложность, вначале необходимо понять, какие значения имеют элементарные сложные высказывания, такие как A˄B, A˅B, A˅B, A⊃B, A≡В, ¬A.

Дополнительная информация

 

Высказывание называется простым, если оно содержит один субъект (S) и один предикат (P). Соответственно, сложными называются высказывания, содержащие в своем составе два и более простых высказывания. Здесь уместна аналогия с предложениями в естественном языке. Предложения, имеющее одно подлежащее и одно сказуемое называются простыми; сложными предложениями называются те, которые имеют в своем составе более одного простого предложения.

Например, предложение «Идет дождь» называется в естественном языке простым. В логике подобное высказывание также называется простым.

А предложение «Идет дождь, и светит солнце» — сложное. С точки зрения классической логике такое высказывание также сложное.

 

Конъюнкция.

Конъюнктивные высказывания – это сложные соединительные высказывания, основным термином которого является знак «˄». В русском языке связка «˄» чаще всего соответствует предлогу «и». Например, «Идет дождь, и светит солнце».  Понятно, что конъюнктивные высказывания могут выражаться и через другие слова – «но», «а», «однако», «затем». Например «Идет дождь, но светит солнце», «Идет дождь, однако светит солнце», «Идет дождь, а солнце светит». Даже высказывание «Дождь прошёл, а затем выглянуло солнце» — также является конъюнктивным.

Дополнительная информация

 

Иногда возникает необходимость с помощью конъюнктивных высказываний подчеркнуть последовательность событий. Например, «Прошел дождь, а затем выглянуло солнце, и позже засияла радуга». Для этого используют индексы последовательности. В нашем случае мы имеет три последовательных события – А, B и C. В формальной логике это можно отразить следующим образом: ˄3(А, B, C) или A˄33C

 

Поскольку сложные конъюнктивные высказывания повествуют о двух и более событиях, их истинность в целом определяется истинностью всех входящих в них простых высказываний. Иными словами, чтобы высказывание «Идет дождь, и светит солнце» можно было назвать истинным, необходимо, чтобы истинными были оба этих события — «Идет дождь» и «Светит солнце».  В таблице истинности свойства конъюнкции отражаются так:

 

A ˄ B
И И И
И Л Л
Л Л И
Л Л Л

 

В смысловом содержании:

 

A ˄ B
Идет дождь И Светит солнце
Идет дождь Л Не светит солнце
Не идет дождь Л Светит солнце
Не идет дождь Л Не светит солнце

 

Для начинающих читателей объясним, что именно означает данная таблица. Буква «И» означает «истина», буква «Л» — ложь. Сначала мы перевели высказывание естественного языка «Идет дождь, и светит солнце» в символическую форму. Для этого мы обозначили простое суждение «Идет дождь» латинской буквой «A», а суждение «Светит солнце» — латинской буквой «B». Затем мы соединили оба этих высказывания знаком конъюнкции и получили «A˄B». Следующим шагом мы прописали все возможные комбинации сочетания этих переменных:

 

A ˄ B
И И
И Л
Л И
Л Л

 

И, наконец, поскольку конъюнкция получает значение истины только, когда истинны оба ее члена одновременно, в первой строке мы ставим значение «И», а во всех остальных – «Л».

Если бы в нашей конъюнкции было бы не два члена, а три — A˄B˄C – строчек в нашей таблице было бы вдвое больше:

 

A ˄ B ˄ С
И И И И И
И И И Л Л
И Л Л Л И
И Л Л Л Л
Л Л И Л И
Л Л И Л Л
Л Л Л Л И
Л Л Л Л Л

 

Число строк в таблице подсчитывается по формуле 2n, где n — количество переменных в формуле.

Здесь, для обозначения истинности и ложности высказываний, мы использовали (и будем использовать в дальнейшем) русские буквы «И» и «Л». Однако часто в литературе можно встретить и иные обозначения – символы на английском языке или числовые обозначения:

 

A ˄ B A ˄ B A ˄ B
И И И T T T 1 1 1
И Л Л T F F 1 0 0
Л Л И F F T 0 0 1
Л Л Л F F F 0 0 0

 

Дизъюнкция.

Дизъюнктивные высказывания – это сложные разделительные высказывания, основным термином которого является знак «˅». В русском языке связка «˅» чаще всего соответствует предлогу «или», «либо». Причем дизъюнкция верна, когда верно одно из утверждений или оба одновременно.

Примером дизъюнктивного высказывания может быть суждение «Идёт дождь, или идёт снег». Сразу обращаем внимание читателя, что простая (нестрогая) дизъюнкция ложна лишь в одном случае – когда ложны оба её члена (оба простых высказывания, входящих в ее состав). Выражение «Идёт дождь, или идёт снег» истинно, если истинно, либо то, что «Идёт дождь», либо то, что «Идёт снег». Но нестрогая дизъюнкция верна и тогда, когда верно и то, и другое:

 

A ˅ B
И И И
И И Л
Л И И
Л Л Л

 

Строгая дизъюнкция.

Строгая дизъюнкция обозначается знаком «˅» и отличается от нестрогой тем, что принимает значение лжи при истинности обоих её членов (обоих высказываний, входящих в её состав):

 

A ˅ B
И Л И
И И Л
Л И И
Л Л Л

 

В русском языке строгая дизъюнкция выражается оборотом «или…, или…», «либо…, либо», «или одно, или другое». Если верными оказываются оба события, строгая дизъюнкция считается ложной, поскольку одно событие исключает другое. Примером строгой дизъюнкции может служить суждение «Либо снег идёт, либо не идёт».

В нестрогой дизъюнкции два события могут наступить одновременно. Например, в суждении «Идёт дождь, или идёт снег» очевидно, что возможен снег с дождём.  В строгой дизъюнкции одно событие исключает другое, как в примере «Либо снег идёт, либо не идёт».

 

Эквивалентность.

Основным знаком эквивалентности (эквиваленции, тождества, равнозначности, взаимовыразимости ) является «≡» или «↔». Иногда тождество в логике называют «двойной импликацией», поскольку эквивалентность «A↔B» истинна, когда верно, что из A следует B, а из B следует A: (A↔B)≡(A⊃B, B⊃A).

В русском языке формула «A↔B» передаётся выражениями «A эквивалентно B», «Если и только, если А, то B», «В тогда и только тогда, когда A». В этом смысле в формуле «A↔B» A является необходимым и достаточным основанием для B. Как, впрочем, и B является необходимым и достаточным основанием для A.

 

Дополнительная информация

 

Необходимым условием (основанием) события A называется такое условие, без которого события A невозможно.

Достаточным условием (основанием) события A называется такое условие, при выполнении которого наступает событие A.

Необходимым и достаточным условием (основанием) события А называется такое условие, при выполнении которого наступает событие А, а при его невыполнении событие А невозможно.

Теперь постараемся перевести всё это на понятный язык.

Есть такая поговорка: «Не разбив яйцо, яичницу не пожаришь». О чём идёт речь? Чтобы пожарить яичницу необходимо разбить яйцо. Иными словами условие «разбить яйцо» является необходимым для события «яичница». Но является ли условие «разбить яйцо» достаточным, для того, чтобы у нас получилась яичница? Очевидно, нет. Ведь разбитое яйцо ещё надо положить на сковородку и пожарить. Таким образом, условие «разбить яйцо» является необходимым, но недостаточным основанием для вкусной яичницы.

Народная поговорка говорит: «Аппетит приходит во время еды». Не вдаваясь в дискуссию, примем это высказывание на веру, как истинное. Народная мудрость говорит нам о том, что возбуждение аппетита имеет своим условием хорошую трапезу. То есть, хорошая трапеза – достаточное условие для появления у нас аппетита. Но в тоже время мы с вами понимаем, что условием появления аппетита может служить не только трапеза, но и активная физическая нагрузка, или, скажем, длительное воздержание от пищи. Значит, приём пищи является вполне достаточным, но не необходимым основанием для возбуждения аппетита.

Приведем еще одну поговорку: «Если долго мучиться – что-нибудь получится». Здесь справедливо говорится о том, что для достижения значимого результата необходимо условие – мучение. И это справедливо, поскольку так в жизни часто и происходит. Но всегда ли наши мучения приводят к значимым результатам? Нет. Следовательно, наши мучения не являются для результата достаточным условием. Обязательно, чтобы добиться какого-то результата, нам необходимо мучиться? Тоже нет: ведь, как правило, мы добиваемся результата, исходя из других мотивов. Значит наши мучения еще и не необходимы для этого. Здесь мы имеем дело с не достаточным и не необходимым основанием (условием).

Но хватит поговорок. Перейдем к обыденному опыту. Всем известно, что для того, чтобы в чайнике закипела вода, её надо нагреть до ста градусов. То есть, условием кипения воды является её нагрев до ста градусов. Теперь постараемся понять, что представляет собой условие «нагрев до ста градусов». Это условие необходимо, поскольку без нагрева до ста градусов вода просто не закипит. Это условие достаточно, поскольку нагревание воды до ста градусов обязательно приведет к её кипению. Когда условие является необходимым и достаточным для результата, условие и результат эквивалентны. Это можно сформулировать следующим образом: нагревание воды до ста градусов эквивалентно её кипению – кипение воды эквивалентно нагреванию её до ста градусов.

(Вода нагрета до ста градусов) → (вода кипит)

(Вода кипит) → (вода нагрета до ста градусов)

(Вода кипит) ↔ (вода нагрета до ста градусов)

 

Отношение эквивалентности выражается следующей таблицей истинности:

 

A B
И И И
И Л Л
Л Л И
Л И Л

Дополнительная информация

 

Для понимания смысла эквивалентности/тождества можно было бы ограничиться замечанием, что этот термин близок по содержанию знаку равенства в математике. Или сказать, что эквивалентность выражается словосочетанием «одно и то же». Однако это не совсем так. Более того, в логической науке понятия «эквивалентность» и «тождество» принято различать.

Тождество (равнозначность) – это отношение между одним и тем же объектом. Или, другими словами, это отношение между выражениями, имеющими одинаковое значение и объём. Например, в отношении тождества относятся такие понятия как «Самый большой город России» и «Столица России». Ясно, что речь идёт об одном и том же объекте, имеющим одно и то же значение – «Москва». Однако содержание этих высказываний, как мы видим, разное.

Тождественными также являются выражения «2х2» и «4», поскольку они имеют один и тот же объем. Но, опять-таки, содержание и свойства этих выражений разные: в первом случае речь идёт о свойстве произведения, а во втором – о свойстве числа.

Эквивалентность (взаимовыразимость), напротив, есть отношение между разными объектами, имеющими одинаковые (или близкие по содержанию) свойства. В качестве примера можно привести оригинальное лекарство и его дженерик. Это разные препараты (объекты), имеющие одинаковые (эквивалентные) свойства. В определенном смысле, можно назвать эквивалентными кассира и банкомат, при условии, что оба они выполняют одинаковые функции.

 

Отрицание.

Знак отрицания (инверсии) меняет формулу и всё, что она выражает (суждение, высказывание, умозаключение и т.д.) на противоречивую её. Особо подчеркнём – именно на противоречивую, а не на противоположную (о разнице понятий «противоречие» и «противоположность» будет подробнее рассказано ниже). Инверсия обозначается знаком «¬». Этот знак превращает ложь в истину, а истину в ложь. В русском языке логическое отрицание обычно обозначается словами «неверно, что…». Смысл инверсии выражается следующей таблицей истинности:

 

A ¬A
И Л
Л И

 

Если мы хотим отрицать формулу A, то ставим перед ней знак «¬» и получаем «¬A». Читаем: «Не A» или «Не верно, что A». Если у нас имеется достаточно длинная формула, то берём всю её в скобки и перед ней ставим отрицание «¬».

 

Импликация.

Импликативные высказывания – это сложные условные высказывания, основным термином которого является знак «⊃». В русском языке связка «⊃» чаще всего соответствует словосочетанию «если…, то…». Именно это словосочетание (а, точнее, его неоднозначность и вариативность) порождает множество недоразумений.

Слова А.П. Чехова «Если на стене висит ружьё, то оно обязательно должно выстрелить» воспринимается как логическое следование, где из условия «висит ружьё» логически следует «должно выстрелить». На самом же деле никакого логического следования здесь нет и в помине. Здесь есть событие B и условие A. Причем условие A является не обязательно необходимым для события B.

Дополнительная информация

 

Импликация — самый спорный логический знак в формальной классической логике. Настолько спорный, что он породил множество неклассических логик и множество интерпретаций самой импликации. Чтобы отделить классическую импликацию от множества её интерпретаций («релевантная импликация», «строгая импликация», «интенсиональная импликация» и т. д.), её принято назвать «материальной импликацией».

Важно

 

В формуле «AB» условие A принято называть антецедентом.

В формуле «AB» следствие B принято называть консеквентом.

 

Итак, высказывание импликации вида A⊃B – это высказывание, в котором событие B происходим при условии события A. При этом событие A не обязательно является необходимым условием для осуществления события B.

В силу сказанного, истинными импликативными суждениями можно считать следующие:

  1. «Если чайник поставить на плиту, то вода в нём закипит при ста градусах по Цельсию»
  2. «Если чайник не ставить на плиту, то вода в нём всё равно закипит при ста градусах по Цельсию»
  3. «Если Москва – столица России, то вода в чайнике всё равно закипит при ста градусах по Цельсию»
  4. «Если Москва – столица Франции, то вода в чайнике всё равно закипит при ста градусах по Цельсию»
  5. «Если Москва – столица Франции, то вода в чайнике никогда не закипит при ста градусах по Цельсию»

При всей кажущейся абсурдности представленных выражений, все они – истинны.

А теперь давайте разберемся, по пунктам.

Первые четыре выражения говорят нам о том, что «вода в чайнике закипит при ста градусах по Цельсию» при любых условиях. Иными словами, ни одно из условий не помешает воде закипеть при ста градусах по Цельсию. Мы можем определить разные условия – истинные, ложные, достаточные или необходимые, но при этом «вода при ста градусах» всё равно закипит. Именно поэтому импликация здесь истинна.

Зададимся вопросом: «Закипит ли вода при ста градусах по Цельсию, если предположить, что Луна сделана из зелёного сыра»? Очевидно, что закипит. Именно поэтому импликация истинна всегда, когда истинен консеквент (следствие).

Пятый пример проще для понимания: «Если Москва – столица Франции, то вода в чайнике никогда не закипит при ста градусах по Цельсию». Почему эта импликация также является истинной? Просто потому, что из одной нелепицы мы вывели другую нелепицу. А, если из одной лжи мы получаем другую, следовательно, наши рассуждения правильны.

Если наши рассуждения показались читателю неубедительными, приведём пример из математики. «Если 5:0=0, то 0х0=5». Здесь оба утверждения ложны, но вывод сделан по всем правилам математики. Следовательно, и это умозаключение – истинно.

Если и этот пример показался читателю неубедительным, приведём ситуацию,  называемую в научной литературе «Тест на послушание», в которой мать даёт наставление своему сыну:

Мама говорит сыну: «Делай уроки!» (принимаем это высказывание за «+»).

Мама ничего не говорит сыну (принимаем это высказывание за «-»).

Сын делает уроки (принимаем это высказывание за «+»).

Сын бездельничает (принимаем это высказывание за «-»).

Строим таблицу истинности:

 

Условие Результат
1 Мама говорит сыну: «Делай уроки!» + Сын делает уроки
2 Мама говорит сыну: «Делай уроки!» Сын бездельничает
3 Мама ничего не говорит сыну + Сын делает уроки
4 Мама ничего не говорит сыну + Сын бездельничает

 

Ясно, что сын не слушается мать только в случае №2.

Отношение импликации  выражается следующей таблицей истинности:

 

A B
И И И
И Л Л
Л И И
Л И Л

 

 

Квантор общности ∀.

Оператор «∀» называется квантором общности (от английского «All») и переводится на русский язык выражениями «Все…», «Ни один…», «Никто из…», «Не существует…» и т.д.

Оператор «∀» ставится непосредственно перед переменной  — ∀x, что означает «Все x…», «Для всех x…», «Ни один из x…», «Не существует x…».

Если нам необходимо перевести на формальный язык выражение «Все люди – млекопитающие», мы обозначаем свойство (предикат) «млекопитающее» заглавной латинской буквой, например, «Q», человека — переменной (обозначаем  прописной латинской буквой), например, «x».

Таким образом, выражение «Человек есть млекопитающее» символически может выглядеть так: «Q(x)». Читаем: есть «x», обладающий свойством «Q» — человек обладает свойством млекопитающего.

Далее, мы прибавляем квантор «∀», чтобы подчеркнуть, что все люди – млекопитающие.

Пишем: ∀xQ(x).

Читаем: Для всех «x» верно, что «x» обладает свойством «Q».

По-русски: Для всех людей верно, что они обладают свойством «млекопитающих». Или, проще, «Все люди – млекопитающие».

Если в формуле боле одной переменной, то квантор ставится перед каждой из них. Выражение «Все мужчины и все женщины – люди» можно символически выразить, как ∀x∀yQ(x, y). Читаем: «Для всех «x» и для всех «y» верно, что они обладают свойством «Q».

 

Квантор существования Ǝ.

Оператор «Ǝ» называется квантором общности (от английского «Existence») и переводится на русский язык выражениями «Некоторые…», «Большинство…», «Не все из…», «Существует…» и т.д.

Оператор «Ǝ» ставится непосредственно перед переменной  — Ǝx, что означает «Некоторые x…», «Большинство x…», «Не все x…», «Существует x…».

Если нам необходимо перевести на формальный язык выражение «Некоторые люди – философы», мы обозначаем свойство (предикат) «философы» заглавной латинской буквой, например, «Q», человека — переменной (обозначаем  прописной латинской буквой), например, «x».

Таким образом, выражение «Люди — философы» символически может выглядеть так: «Q(x)». Читаем: есть «x», обладающий свойством «Q» — человек обладает свойством философа.

Далее, мы прибавляем квантор «Ǝ», чтобы подчеркнуть, что лишь некоторые люди – философы.

Пишем: ƎxQ(x).

Читаем: Для некоторых «x» верно, что «x» обладает свойством «Q».

По-русски: Для некоторых людей верно, что они обладают свойством «философы». Или, проще, «Некоторые люди – философы».

Если в формуле боле одной переменной, то квантор ставится перед каждой из них. Выражение «Некоторые мужчины и некоторые женщины – философы» можно символически выразить, как ƎxƎyQ(x, y). Читаем: «Для некоторых «x» и для некоторых «y» верно, что они обладают свойством «Q».

 

Пример построения элементарной формулы.

Зная основные символы формальной логики, мы можем перевести любую естественную речь на формализованный язык. К примеру:

«Если кто-то любит кого-то, и никто не любит всех, значит, некто любит всех или все не любят кое-кого».

Мы специально взяли этот классический пример, в котором нет никакого внятного содержания, чтобы подчеркнуть формальность логики. Задача проста: надо выразить эту абракадабру логическими символами.

Итак, мы понимаем что, кто-то (х) с кем-то (у) находятся (или не находятся — «¬») в отношении любви (L). Иными словами L(x, y). Имеем:

L(x, y) –«х» любит «у»;

¬L(x, y) —«х»не любит «у»(не верно, что икс любит игрека).

 

Дополнительная информация

 

Если бы мы имели формулировку «х и у любят друг друга», то использовали не предикат L, а функтор ff(x,y). При использовании функторов, последовательность переменных не важна — f(x,y), либо f(у,х) поскольку функтор «f» говорит о взаимном отношении между иксом и игреком. Однако предикат L действует лишь в одну сторону, и именно поэтому здесь важна последовательность переменных. L(x, y) – читается, как «х любит у», а L(y,x) – читается, как «y любит x».

 

Осталось разобраться с кванторами, то есть, где кто-то любит (∃), а где любят все (∀). Итак,

∀x — все x;

∃x — некоторые x.

Пробуем «перевести» на язык логики фразу «кто-то любит кого-то». Некоторый х находится с некоторым у в состоянии любви L:

∃x∃yL(x, y).

Соответственно, фраза «никто не любит всех» должна символически выглядеть так:

∀x∀y¬L(x, y) – для всех «x» и для всех «y» верно, что они не находятся в состоянии любви «¬L».

Если понятны первые два действия, ничего не стоит сделать «перевод на язык логики» фразы «некто любит всех» и  все не любят кое-кого»:

∃x∀yL(x, y) и ∀x∃y¬L(x, y)

Теперь осталось только объединить все наши фразы операторами «∧» — «и», «∨» — «или», «⊃» — «если…, то»:

(∃x∃yL(x, y)∧∀x∀y¬L(x, y))⊃(∃x∀yL(x, y)∨∀x∃y¬L(x, y))

Внешние скобки можно опустить, поскольку знак «⊃» сильнее знаков «∧» и «∨». Получаем:

∃x∃yL(x,y)∧∀x∀y¬L(x,y)⊃∃x∀yL(x,y)∨∀x∃y¬L(x,y)

 

Важно

 

Для дальнейшей работы необходимо запомнить несколько формул и правил формальной логики.

 

p⊃(q⊃p) – закон (утверждения) консеквента;

(p→q)⊃(¬q⊃¬p) – закон контрапозиции;

(¬p⊃¬q)⊃(q⊃p) – закон усиленной (обратной) контрапозиции;

((a˄b)⊃c)⊃((a˄¬c)⊃¬b) – закон сложной контрапозиции;

(p⊃(q⊃r))⊃((p⊃q)⊃(p⊃r)) – закон самодистрибутивности (материальной) импликации.

 

Отрицание основных формул:

¬(a˄b)↔¬a˅¬b,

¬(a˅b)↔¬a˄¬b,

¬(a⊻b)↔(a˄b)˅(¬a˄¬b),

¬(a→b)↔a˄¬b,

¬(ab)↔(a˄¬b)˅(b˄¬a),

¬¬a↔a

 

Основные эквивалентности:

Эквивалентности могут помочь решать частные задачи. Кроме того, приведение формул к импликации очень удобно для дальнейшей работы в аксиоматических системах, где импликация является основном оператором. Приведение формул к конъюнкции или дизъюнкции может помочь в целях приведения формул к так называемым нормальным формулам — дизъюнктивно нормальным формулам и конъюнктивно нормальным формулам. Преобразование эквивалентных формул также помогает решать логические задачи в системах, где анализ эквивалентных формул не предусмотрен.

 

приведение операторов к импликации —

(a˄b)≡¬(a⊃¬b)∧¬(b⊃¬a)

(a˅b)≡(¬a⊃b)∧(¬b⊃a)

(a≡b)≡(a⊃b)∧(b⊃a)

(a˅b)≡(¬a⊃b)∧(¬b⊃a)

 

приведение операторов к конъюнкции —

(a⊃b)≡¬(a˄¬b)

(a˅b)≡¬(¬a˄¬b)

(a˅b)≡¬((a∨¬b)∧(¬a∨b))

(a≡b)≡(a∨¬b)˄(b∨¬a)

 

приведение операторов к дизъюнкции —

(a˄b)≡¬(¬a∨¬b)

(a⊃b)≡(¬a∨b)

(a˅b)≡(a˄¬b)∨(¬a˄b)

(a≡b)≡(a∧b)∨(¬a˄¬b)

 

Пусть читатель не пугается этих замысловатых формул. Позже мы объясним их значение. Они не столь сложны, как кажутся!